Roland Dürre
Montag, der 17. April 2017

Lösung

Vor zwei Wochen habe ich eine Logelei formuliert, die mir besonders gut gefällt und die ich als sehr schwierig empfand. Mich erreichte tatsächlich eine richtige Lösung.

Hier ist die Lösung zu dieser Aufgabe vom 3. April 2017. Den formalen Teil habe ich aus der Formulierung von Jörg – dem Gewinner – übernommen.

Die Frage war:

Wie können die Ganoven ihr Überleben sicher stellen?

Und die Lösung ist

🙂 Verblüffend einfach!

Jörg – Der Gewinner!

Die 10 Ganoven ordnen jedem von sich z.B. durch Abzählen eine eindeutige Zahl zwischen 0 und 9 zu!

Wenn ein Ganove dann die jeweils neun Bilder der anderen neun Ganoven sieht, addiert er die Zahlen auf diesen Bildern zusammen und addiert „die ihm gegebene“ Zahl auf die Summe der 9 sichtbaren Zahlen.

Dann wendet er auf das Ergebnis die Operation modulo 10 an und nennt die sich ergebende Zahl (Ziffer). Das macht jeder Ganove bei seinem Interview so.

So wird sicher gestellt, dass genau einer der Ganoven die Zahl nennt, die bei ihm auf dem Bild steht. Der Rest sagt zwar zwangsläufig die falsche Zahl – das stört aber nicht, denn es genügt ja wenn einer die Zahl „errät“, damit alle überleben.
🙂 Man soll also die Hoffnung nie aufgeben – ab und zu hilft sogar die Mathematik.

Die formale Beschreibung der Lösung (nach Dr. Rothermel).

• Gegeben sei die Anzahl der Ganoven: N
• Sei zi die dem Ganoven i gegebene (für ihn) geheime und nicht notwendigerweise eindeutige Ziffer aus der Menge {0, 1, …, N-1} von denen mindestens eine zu erraten ist.
• Sei S die Summe aller vergebenen Ziffern S = Σ zi

Die Ganoven verabreden jetzt folgendes Verfahren:

1. Jeder erhält im Vorfeld eine persönliche (und ihm bekannte) eindeutige Zahl i aus der Menge {0, 1, …, N-1} zugeteilt.

2. Bei der Befragung bildet jeder Ganove jetzt die Summe der Ziffern die er sehen kann – das ist die (eindeutige) Gesamtsumme S minus seiner (ihm unbekannten) Ziffer zi also S – zi . Das ist die einzige Information die er zur Verfügung hat.

3. Da die Ganoven nur an Zahlen im Bereich {0, 1, …, N-1} interessiert sind, verwenden sie modulo N oder die Kongruenzrelation ≡ N. Jeder Ganove ermittelt jetzt eine ganze Zahl x, derart dass folgendes gilt:
x ≡ N i – (S – zi ) oder
x = ( i – (S – zi )) mod N (I)
Mit diesem Verfahren bestimmt genau ein Ganove sein zi richtig !

Beweis:

S ist kongruent mit einer Zahl s aus der Menge {0, 1, …, N-1} oder S ≡ N s also schreibe ich (I) um:
x ≡ N i – (s – zi )
Da sich alle N i’s voneinander unterscheiden, muss eines gleich s sein, damit gilt für einen Gauner:
x ≡ N zi.
Jetzt sind sowohl x als auch zi aus der Menge {0, 1, …, N-1} damit sind sie nicht nur kongruent sondern auch gleich:
y = zi,
und das bedeutet, dieser Ganove bestimme seine Ziffer korrekt.

(Lösung und Beweis sind formuliert von Dr. Jörg Rothermel)

Jetzt empfehle ich, noch mal die Aufgabe zu lesen und ein wenig darüber nachzudenken.

RMD

Roland Dürre
Mittwoch, der 12. April 2017

Noch eine Logelei!

Da meine letzte Logelei ein paar Menschen viel Freude gemacht (und andere zur Verzweiflung gebracht) hat, hier noch eine. Die ist allerdings

Eigentlich ganz einfach!

Ein Hausbesitzer hat eine quadratische Terrasse, die mit 64 einfachen quadratischen „Kacheln“ (jede 30 cm x 30 cm groß) gepflastert ist. Er möchte diese mit 31 (schon besorgten) Dominosteinen auslegen (doppelt so groß wie die Kacheln – also zwei mal so lang wie breit, das heißt 60 cm x 30 cm groß) auslegen.

Sein besonderer Wunsch ist, dass die zwei gegenüberliegenden Ecken frei bleiben. Da soll jeweils eine quadratische Kachel mit einem besonderen Symbol hinkommen, von denen er sich auch schon zwei besorgt hat (genauso so groß wie die ursprünglichen, also auch mit den Maßen 30 cm x 30 cm). Natürlich dürfen die Dominosteine aus ästhetischen Gründen nicht halbiert werden.

Diesen Auftrag übergibt er einem Handwerker. Der freut sich über den Auftrag und macht sich an die Arbeit. Er lässt ein Eckfeld frei und beginnt mit dem Verlegen der Dominosteine.

Nun die Aufgabe:

  1. Bekommt der Handwerker das hin?
  2. Wenn ja, wie?
    oder
    Wenn nein, warum nicht?

In zwei Wochen werde ich die Lösung veröffentlichen – und bis dahin freue ich mich auf viele E-Mails mit der Lösung!

Tipp: Ich habe auch eine quadratische Terrasse 🙂

Diese Aufgabe hat mir 1968 der Werner während eines langweiligen Fußball-Spiels im Rosenau-Stadion gestellt. Er war fünf Jahre älter als ich und hat schon an der TUM Mathematik studiert. Ich war da noch im Jakob-Fugger-Gymnasium. Leider weiß ich auch für diese Logelei keine Quelle.

RMD