Hans Bonfigt
Freitag, der 21. Juli 2017

The Power and the Glory

Als kleiner Junge fand ich Mädchenspielsachen doof – mit einer Ausnahme: Das „Ministeck“ – Spiel meiner Schwester Susanne.

Die Rasterung fand ich so sensationell: Man konnte in eine große äquidistante Lochrasterplatte verschieden farbige Steckknöpfe drücken und so beliebige Geometrieen erzeugen.

Der Clou: War der Betrachtungsabstand groß genug, dann sah man das Raster nicht, die Kanten, auch wenn sie winklig waren, sahen geradlinig aus. Kreise, obwohl im Raster angenähert, wirkten rund.

Natürlich (also: natürlich für die 60er Jahre) erklärte mir mein Vater auch, wie ein Fernsehbild aufgebaut war: Nämlich als Raster.

Im Bildbeispiel sieht man ein vermittels einer Nipkow-Scheibe erzeugtes „Fernsehbild“.

Der Gedanke, man könne alle Dinge dieser Welt in einen (dreidimensionalen) Raster beschreiben, sofern man nur die Rasterdistanz klein genug machte, faszinierte mich.

Vielleicht etwas zu früh las ich zu jener Zeit Karl-Alois Schenzingers „Atom“, und ja, es fängt damit an, daß Griechen in der Antike darüber diskutieren, ob es ein ‚atomos‘, ein „Unteilbares“ gebe, eine Art gemeinsames Grundmaß. Und die Bewegung eines Pfeils, so wurde nahegelegt, könne man auch betrachten als die Summe fortgesetzter einzelner Status, verschoben um eine oder mehrere dieser „Elementarmaße“.

In der Schule hatten wir erst Brüche, die meiner „Rastertheorie“ nicht widersprachen, dann gab es auf einmal Pi, aber man legte uns zunächst nahe, die Zahl als 22/7 anzunähern. Auch die Sache mit den Quadratwurzeln fand ich spannend, schon allein wegen des praktischen Nutzwertes. Daß diese meine kleine heile Welt ins Wanken bringen würden, kam mir nicht in den Sinn.

Meine kleine Welt war einfach und berechenbar.
Bis zu jener Mathematikstunde.

Mathematiklehrer Günter Skwirblies wollte von uns wissen, wie man denn eine Rechenvorschrift formulieren könnte, um die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl zu berechnen.

Eigentlich fing es ganz ruhig und „rasterhaft“ an, einer der beiden Cracks im Kurs schlug vor:
„Legen wir doch einfach ein sinnvolles Intervall fest, innerhalb dessen sich das Ergebnis befinden muß, die initiale Annahme für das Ergebnis sei dann der Mittelwert der Intervallgrenzen.
Um das Ergebnis für die Wurzel aus 16 zu ermitteln, nehmen wir also Null als linke und die 16 als rechte Grenze und bilden den Mittelwert 8. Den quadrieren wir zur Probe – hui, 64 ist größer als 16, also halbieren wir das Intervall und nehmen die 8 als rechte Grenze:
Mittelwert rechts – links ist 4, 4 x 4 = 16 —> Heureka, paßt schon beim 2. Versuch!
Jetzt mit 100:
x1 = 50, 50×50 > 100, neues Intervall [0 50].
x2 = 25, 25×25 > 100, neues Intervall [0 25].
x3 = 12,5, 12,5×12,5 > 100, neues Intervall [0 12.5].
x4 = 6,25, 6,25×6,25 < 100, neues Intervall [6,25 12,5].
x5 = 9,375, 9,375×9,375 < 100, neues Intervall [9,375 12,5].
x6 = 10,9375, 10,9375×10,9375 > 100, neues Intervall [9,375 10,9375]
x7 = 10,15625, 10,15625×10,15625 > 100, neues Intervall [9,375 10,15625]
x8 = 9,76525, …

Wir nähern uns also mit der Genauigkeit I/2, I/4, I/8, I/16, I/32 … denn wir halbieren mit jedem Schritt unsere „Streuung“.

Und für mich war klar: Jeder der bislang ermittelten Quotienten war ein ganzes Vielfaches meines bisher als „irgendwie“ existent geglaubten „Rastermaßes“. Als Lerngruppe fanden wir die Leistung unseres Mitschülers Oliver Hierlein auch beträchtlich!
Eine schöne Rechenvorschrift, und ich konnte mir vorstellen, daß diese ganz modernen, soeben herausgekommen Tischrechner mit Wurzelfunktion genau so arbeiten würden.

The Kick Inside

Im Gegensatz zu uns war der Lehrer aber nicht zufrieden.
„Ihr müßt das Sichtbare umdenken, um ins Mögliche vorzustoßen“.

Und er malte an die Tafel,

gesucht:       sqrt(a) = x

äquivalent:   a = x²

wenn            a = x² ,

dann             a / x   =   x .

Und da spürte ich den Dammbruch. Es durchfuhr mich wie eine Art Schock, wie wenn man man eine Sekunde zu spät bemerkt, daß man ein wertvolles Gepäckstück im gerade anfahrenden Zug liegen gelassen hat:
Wäre x das genaue Ergebnis, würde die Gleichung stimmen.
Wäre das x auf der linken Seite zu klein, wäre es auf der rechten zu groß.
Wäre x auf der linken Seite viel zu klein, wäre es auf der rechten Seite viel zu groß.

Man würde also mit einem beliebigen Wert beginnen können und schon durch die Division auf der linken Seite einen „Komplementär“-Wert erhalten. Der eine zu klein, der andere zu groß, das schreit nach einem arithmetischen Mittel!

Also, once again, with feeling:

Start mit x=50 (viel zu groß),
100/50 = 2; Mittelwert 26
100/26= 3,846, Mittelwert 14,923
100/14,923 = 6,71, Mittelwert 10,812
Die vierte Näherung lag schon bei 10,03 !
Das war aber nicht alles.
Dieses schnelle, „zweierpotenz-unabhängige“ Konvergieren der Iteration ließ mich spüren, „es gibt da wohl noch etwas außerhalb einen auch noch so feinen Rasters“.

Die Kraft und die Herrlichkeit

Die Etappen der vergangenen 90 Minuten wurden dann noch einmal von einer Mitschülerin wiederholt, „Intervallschachtelung versus schnell konvergierenden Algorithmus“ und, pragmatisch wie Frauen nun einmal sind, fand sie die Intervallschachtelung viel nützlicher, weil universeller. Das brachte mich in Rage und ich sagte, „Das eine ist das Schleppnetz der Phantasielosen — aber das andere ist die Kraft und die Herrlichkeit“. Das tat ich auch in Anspielung auf das Buch von Graham Greene, welches wir im Deutschunterricht unlängst gelesen hatten.
„Die Kraft und die Herrlichkeit“ – vor der Klasse gab das ein fürchterliches Gelächter und mir war der emotionale Ausbruch sehr peinlich.
Aber geschämt habe ich mich nicht dafür. Denn ich habe damals instinktiv gespürt, was für eine unglaubliche Macht hinter einem einzigen Algorithmus stecken kann.

Um die Sache zu einem Ende zu bringen:
Meinem Vater trotzte ich einen programmierbaren Taschenrechner ab. Und ich wollte keinen Müll von Texas Instruments. Und tatsächlich kaufte mir mein Vater, dem es zu dieser Zeit wirtschaftlich wirklich nicht gut ging, einen HP19C.

Jugendliebe mit 14:  Hewlett-Packard 19C von 1974

Erst heute kann ich ermessen, was das heißt, Mitte der siebziger Jahre für eines von zwei Kindern 948 Mark auszugeben — das wären heute 4.000,– Euro. Ich bin ihm dafür sehr dankbar, er spürte, daß er mir in Mathematik nicht mehr, wie bisher, weiterhelfen konnte und ließ mich meiner Wege ziehen – aber nicht, ohne mir Rüstzeug und viel Liebe mit auf den Weg zu geben.

Diesen Taschenrechner besitze ich noch heute und selbstverständlich funktioniert er auch noch. Und die ‚ENTER‘ – Taste hat immer noch die charakteristische, präzise Haptik wie 1974.

Das Finden von Algorithmen ist mein Beruf geworden. Es tut mir leid, dem (von mir außerordentlich geschätzten) Chris Wood sagen zu müssen, daß, im Gegensatz zu seiner kürzlich geäußerten Ansicht, ich gar keine Lust habe, irgendwelchen Mist hergelaufener ‚Game&Graphics‘ – Hanseln zu optimieren.
„Arbeiten“ an Videospielen oder gar an „Tabellenkalkulationen“ halte ich eines Mannes für unwürdig.

Eben weil der programmierbare Taschenrechner so langsam und so begrenzt war, war ich auf Algorithmen angewiesen, die möglichst effizient waren. Und deren Entwurf kann man lernen.

Sparsamkeit ist keine Dagobertianische Neurose.
Sparsamkeit ist die Mutter der Effizienz.

Und der Vater der Effizienz ist die Strategie. Mann kann nicht mit „Power“ oder Geschwindigkeit das wettmachen, was man bei der Bestimmung der Richtung versaut hat.

Und aus diesem Grunde brauchen wir genau kein Internet an Schulen, kein „WLAN“ und keine Superrechner. Wir brauchen etwas anderes: Neulich sah ich eine Dame namens „Gesche Jost“, „Internetbotschafterin“ der Bundesregierung. „Oh Gott, noch so eine Yoga-Bewußtseinstante“, denke ich mir und will den Fernseher abschalten — aber weit gefehlt: Die Dame stellte einen universellen Einplatinenrechner vor, den „Calliope“.

Abgeguckt hat man dieses Gerät vom BBC Micro:BIT, aber hey, besser gut abgeschaut als grün selbst erfunden.
Es handelt sich in beiden Fällen um ein System, mit dessen Prozessor man direkt kommunizieren kann und der gnadenlos genau das ausführt, was man ihm eingibt. Man kann mit solchen Geräten spielerisch begreifen, wie so ein Computer „gestrickt“ ist und gleichzeitig viele Probleme lösen. Das ganze zu einem phantastisch günstigen Preis!
DAS ist Lehrmaterial zum Anfassen, das regt die Phantasie an – ganz im Gegensatz zum verschwulten „Ipad“, bei dem alles darauf abgestellt ist, einen dummen, unmündigen, charakterlosen Opportunisten zu sedieren.  Wenn ich mir die „Produkte“ von Apple ansehe, dann muß ich immer an „The Wall“ von Pink Floyd denken, „I have become comfortably numb“.

Wir brauchen mehr von diesen einfachen, effizienten Werkzeugen, anhand derer Pädagogen nachvollziehbar zeigen können, wie schwachsinnig „JAVA“ ist. Und es gibt dieses Gerätchen nicht nicht nur in Blau, für Jungs, sondern auch in Rosa, für Mädchen!

Als die Formeln laufen lernten

Doch so ein kleines von-Neumann – Maschinchen ist nie Selbstzweck. Es macht eine Summenformel lebendig, es läßt Iterationen konvergieren – oder eben nicht. Man kann alle Zwischenergebnisse ansehen und das Maschinchen auch anweisen, unter ganz bestimmten Bedingungen zu stoppen.
Sicher:
Viele Aspekte der Computertechnik kann man in der „Wikiblödia“ nachschlagen, aber das ersetzt NIEMALS eigene Erfahrungen!
Wenn ich, um Zeit zu sparen, irgendetwas aus der „Wikipedia“ verwende, dann ist der Pfusch schon vorprogrammiert, weil ich etwas umsetze, das ich nicht verstanden habe.

Die Freude und das Glücksgefühl, wenn ein selbsterstelltes Programm funktioniert, wenn eine selbstentwickelte Schaltung zum Leben erwacht, sind einzigartig. Was tun mir die ganzen „Geisteswissenschaftler“ leid, da arbeiten sie teilweise jahrelang an einer Dissertation und nachher werden sie niemals, niemals wissen, ob sie mit ihren Vermutungen richtig lagen.   Gut, bei vielen kann man das ja auch als Gnade betrachten.

Was von den Vätern Du ererbt,  erwirb‘ es, um es zu besitzen

Wenn wir einmal junge Musikerinnen betrachten, nehmen wir jetzt einmal Alice Sara Ott, Julia Fischer oder Sophie Pacini: Das sind drei junge Frauen, die als kleine Kinder von intelligenten, liebevollen Eltern individuell gefördert wurden. Es sind aber auch Menschen, die eigene Wege gegangen sind, Frau Fischer ist legendär für ihre Dispute mit diversen Dirigenten und Sophie Pacinis Chopin – Interpretationen sind, ähmmm, außergewöhnlich.
Aber die Waldsteinsonate spielt sie bereits jetzt, in jugendlichem Alter, authentischer als ihre berühmte Mentorin Marta Argerich. Das bestimmt auch deswegen, weil sie Barockmusik im allgemeinen und Beethoven im speziellen umfassend studiert hat.

Aber bei all ihrer Virtuosität sind alle drei jungen Frauen fröhliche, aufgeschlossene und humorvolle Menschen geblieben.

Wenn man sich freut, solche Menschen zu seinen Zeitgenossen zu zählen, dann sollte der Dank auch ein kleines bißchen an die Eltern gehen. Denn die Erziehung der Kinder wird vor allen Dingen von diesen wahrgenommen. Und ein Kind kostet viel, viel Geld.

Wenn man sich dagegen ansieht, wie in anderen „Kulturräumen“ Kinder quasi am Fließband produziert und dann weitestgehend sich selbst überlassen werden, dann ahnt man, woher das unmöglich dreiste, intolerante und fremdbestimmte Handeln der „unbehandelten Rohdiamanten“ herrührt.

Und das macht mich richtig traurig: „Kinder kommen nicht auf andere Leute“, pflegten in meiner Kindheit viele Älteren zu sagen und meinten damit: „Asoziale Eltern, asoziale Kinder“. Dagegen habe ich vierzig Jahre opponiert. Vehement opponiert. Und warum opponiert man besonders vehement? Weil man sich vor allem selbst von der Unwahrheit überzeugen will. Die Unwahrheit ist laut, die Wahrheit ist leise.  Die Traurigkeit auch.

Die Geschichte mit dem Algorithmus will ich noch weitererzählen und um einige historische Informationen ergänzen. Der beschriebene, schnell konvergierende Algorithmus entstammt aus einem Lehrbuch des bekannten Heron von Alexandria, war aber wohl schon weitaus früher bekannt.

Isaac Newton fand später einen allgemeinen Algorithmus zur Lösung von beliebigen Gleichungen von der Form f(x) = 0 .
Das Verfahren ist ebeno genial wie einleuchtend:
Auch hier wird ein initialer Wert bestimmt. Die nächste Näherung ist der Schnittpunkt der Tangente an die Funktion durch den Punkt (x|f(x)) mit der x-Achse. Diese „geometrisch“ hergeleitete Näherung wäre rechnerisch x – f(x) / f'(x).
Im Falle von f(x) = x² – a , also unserer ursprünglichen Aufgabenstellung, erhalten wir für x(neu):

x – (x²-a) / 2x =
x – x/2 + a/2x =
1/2x + 1/2 a/x =

1/2 (x + a/x) .

Und damit erhalten wir exakt die gleiche Rechenvorschrift, wie sie Heron vor etwa 2.000 Jahren formuliert hat!

Die Angelegenheit mit der ersten Ableitung, dem Differenzenquotienten und dem cleveren Trick, dessen Nenner gegen Null konvergieren zu lassen, überzeugte mich als Heranwachsenden schließlich doch, daß es eine Welt geben mußte jenseits des idealisierten „Ministeck“ meiner Schwester.

Und wieder war es der Taschenrechner, der mich bei meinen Erkundungen in diese Welt begleitete. Ich habe von dem kleinen Gerät sofort profitiert und tue es noch heute.

Aber so nobel dieses Geschenk auch war, so viele Algorithmen ich in der Folge auf dem Gerät implementierte:

Am Anfang war Mathematiklehrer Günter Skwirblies mit seinem Satz, „Ihr müßt das Sichtbare umdenken, um ins Mögliche vorzustoßen“.

-hb,
in Dankbarkeit.

4 Kommentare zu “The Power and the Glory”

  1. katja (Dienstag, der 25. Juli 2017)

    naja so toll ist das auch nicht, scheint eher standard zu sein:
    http://www.hp-prime.de/files/composite_file/file/254-hp-prime-numerische-nherungsverfahren-von-quadratwurzeln.pdf

    und die bemerkung mit den rosa rechnern für frauen hättste Dir klemmen können.

  2. Hans Bonfigt (Dienstag, der 25. Juli 2017)

    Verblüffend, sogar mit den exakt gleichen Zahlen.

    Wäre mir als Unterrichtsbeispiel aber ‚overengineered‘. Mein ehemaliger Mathelehrer ist die Angelegenheit subtiler angegangen, indem er zunächst ein naheliegende, einfaches Verfahren diskutierte und dann seine Schüler durch eine geschickte Äquivalenzumformung zum effizienteren Algorithmus führte.

    Von einem guten Entwickler wünsche ich mir, daß er nicht nur eine Lösung für ein Problem findet, sondern Alternativen kennt und den Grund benennen kann, weshalb er sich auf eine bestimmte Variante festgelegt hat.

    Mit einer solchen Grundhaltung wäre übrigens aufgefallen, daß die Abwandlung des Algorithmus für die Kubikwurzel wesentlich langsamer konvergiert.

    Der verwendete Rechner gefällt mir gut, mit dem post-fiorinischen HP50 bin ich nie warm geworden.

    Allerdings:
    Ich finde es schade, daß die „Programmiersprache“ so gar nix mehr zu tun hat mit den Tastendrücken, die man bei ‚manueller‘ Berechnung benötigen würde.

    Zuguterletzt:
    Eine deterministische Endbedingung steht jedem Algorithmus gut.

    Was jetzt die „rosa Platine“ anbetrifft:
    Meine Artikel sind oft Tests, was ernstgemeint ist und was nicht. Durchgefallen.

  3. Chris Wood (Dienstag, der 25. Juli 2017)

    Dear Hans, bin ich auch durchgefallen, wo ich früher dein „schwule“-Referenz ernst genommen habe? Nein, mein Kommentar war bi gedacht.

  4. Hans Bonfigt (Mittwoch, der 26. Juli 2017)

    Hallo Chris,
    nein, die „verschwulte“ Referenz war durchaus ernstgemeint. Das affektierte Verhalten, die auffällige Schminkerei, das Sofort-Beleidigtsein gehen mir gewaltigst auf die Nerven.
    Dabei fordern sie mit einer Dreistigkeit ausgewiesene „Toleranzzonen“ für sich, es gibt da sogar ein Extra-Schild dafür, mit einem rosa Dreieck drin, um an die Verfolgung durch das deutsche Volk zwischen 1930 und 1970 zu erinnern. Das finde ich besonders eklig.

    Selber allerdings überziehen sie alle möglichen Menschen mit Klagen, beispielsweise wenn man feststellt, daß „Schwulsein“ und „Pädophilie“ verhängnisvoll beieinanderlie-
    gen. Ich sehe diese ganze „Regenbogenmasche“ eher als Dekadenz- und Degenerationserscheinung.
    „Hassen“, wie sie gerne unterstellen, tue ich sie nicht, aber ich ekle mich mitunter davor.
    Wie eigentlich alle Bayern, die ich kenne.

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